0034-Arquímedes

Así, si se trata de rodear un cuadrado de lado = 1, con una circunferencia, de modo que su diámetro coincida con el del cuadrado, éste sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos serían dos lados contiguos de tal cuadrado. Según el teorema que atribuimos a Pitágoras, el cuadrado de dicha hipotenusa sería igual a la suma de 12 + 12  = 2. Pero no existe ningún número racional que, elevado al cuadrado, dé 2. Es decir, la raíz cuadrada de dos no existe como número racional. Dos es, por tanto, trascendente. Y su raíz cuadrada, también irracional. La raís cuadrada de dos fue el segundo número irracional descubierto. Pi, la primera proporción irracional descubierta, también resultó ser trascendente. A partir de las aportaciones de Euclides, Aristarco de Samos (-320/-250) sostiene que el Sol es el centro del Universo, un punto fijo alrededor del cual giran la Tierra, que también lo hace en torno a su propio eje, y los demás astros móviles. Ptolomeo, en sus escritos de juventud, y Kopérnico, reprodujeron dicha tesis, que ya los estoicos de su época la consideraban impía. Ctesibio fue el primero que realizó experimentos con la presión atmosférica. Construyó órganos musicales y artefactos autómatas, para distracción de la corte alejandrina, sin ninguna utilidad productiva. Inventó el arco de torsión, para uso militar, por ejemplo, en las catapultas.

Durante la Segunda Guerra Mundial se aplicó como barra estabilizadora a los tanques, y, muy posteriormente, se ha extendido a todos los vehículos terrestres. Arquímedes [1] (-287/-212) vivió en Siracusa. Construyó un planetario mecánico, el primer útil para comprobar las hipótesis sobre el movimiento relativo de los planetas. Y también una esfera celeste, con la que se podía calcular, con relativa facilidad, y por adelantado, la posición de las estrellas. Consiguió resolver ecuaciones de tercer grado (es decir, las que contienen incógnitas elevadas al cubo) y ocho incógnitas a partir de sistemas de sólo siete ecuaciones, todo lo cual es realmente admirable, ya que, como en su tiempo no se conocía álgebra, debía efectuar todos los razonamientos mediante desarrollos geométricos. Se dice que el tirano Hierón le consultó sobre la adecuada aleación de una corona, pero impidiéndole que pudiese dañarla. Al meterse en el baño el agua rebosó, por lo que dedujo el principio que lleva su nombre: los cuerpos flotan siempre que pesen menos que el agua que su volumen desaloja. A partir de ello razonó que los cuerpos tenían un peso específico o densidad, en relación a su volumen, por lo que podría descubrir la cantidad de oro empleada en la corona sin dañarla.

Así que salió a la calle gritando “bien conseguido” [2]. Para llevarlo a cabo construyó su balanza hidrostática. También descubrió la ley del centro de gravedad, mejorando el diseño y construcción de naves, respecto de su seguridad frente a naufragios. Y el tornillo de Arquímedes: un tubo en cuyo interior hay arrollado un plano inclinado helicoidal, de forma que, al girarlo a cierta velocidad, mediante una manivela, impulsa el agua hacia arriba. Aún se emplea en Egipto. Enunció la ley de la palanca, concluyendo que, según ella, era posible desarrollar cualquier fuerza, siempre que se contara con un punto de apoyo adecuado. Y palanca, habría que añadir. Calculó sistemas de poleas compuestas o polimpastos. Dedujo que las radiaciones se expandían como una esfera, origen de los estudios de las ondas radiales. Estudió la esfera y el cono, anticipándose al descubrimiento del cálculo integral por Newton. Se le ocurrió que, sin conocer la constante Pi, era imposible realizar cálculos de suficiente aproximación con figuras curvas. Pero sí se podía calcular, con relativa facilidad el de polígonos. Así que demostró que la longitud de una circunferencia inscrita en un polígono era inferior a la del perímetro del mismo.

Y la de un polígono inscrito en ella era inferior a dicha medida. Se le ocurrió que, de ese modo, podía acotar dicha aproximación. Operando con una serie de polígonos llegó al de 96 lados, concluyendo que Pi debía ser mayor que 3+10/71, es decir, 223/71, 3’1408 en notación decimal, e inferior a 3+1/7 = 22/7 = 3’1429, proponiendo, como aproximación para los cálculos, que, en esa época, al desconocer la notación decimal, debían basarse en quebrados, el valor 211.785/67.441 (equivalente a 3’1416 en notación decimal) que, en su honor, se denominó proporción de Arquímedes, hasta que en el siglo XVIIIº se sustituyera por la letra griega, aplicable directamente a las fórmulas matemáticas y al razonamiento algebraico. Habría que esperar 500 años más hasta que Liu Jiu, deduciendo de forma muy similar, operó con polígonos de hasta 3.072 lados, obteniendo la aproximación 3’14159. En su libro “El contador de arena”, Aristóteles se plantea cuantificar el infinito: propone un método de cálculo para establecer cuántos granos de arena cabrían en el Universo.

Partiendo de la teoría heliocéntrica de Aristarco y la observación del paralaje de las estrellas, supone que el perímetro del ecuador terrestre debía ser inferior a 500.000 kmtrs., que la Luna no sería mayor que la Tierra, el Sol no más de 30 veces mayor que la Luna y que la percepción del ojo humano del diámetro angular solar sería superior a 1/200 de ángulo recto, concluyendo un tamaño del Universo equivalente a lo que hoy denominaríamos 2 años luz, y que en él cabrían 8 x 1063 granos de arena. O sea, una cantidad finita, aunque inmensamente grande. Las consecuencias de ello superan la anécdota matemática, puesto que rompe la perplejidad de que puedan existir dos entes infinitos: Dios y el Universo, Su obra. Sin embargo una inmensidad de filósofos, matemáticos, astrónomos, físicos y teólogos posteriores han ignorado tal posibilidad. Así los teólogos cristianos han acusado de “panteísmo”, algo que considero que tiene poco sentido, a todos los que han mantenido que el Universo es tan infinito y eterno como Dios, aunque sin expresarlo tan abiertamente.

Durante el asedio romano de Siracusa se dice que diseñó catapultas y ballestas, posiblemente basadas en el arco de torsión de Ctesibio, Y una grúa con polipastos que dejaba caer una garfio múltiple (mano de hierro, lo llamaban los romanos) que, tras conseguir un enganche, tal vez perforando la cubierta si caía con suficiente fuerza, pudiese hizar una parte del barco que se aproximase a las murallas para asaltarlas desde el mar, haciéndolo escorar o hundir por el extremo opuesto, la proa o la popa, hasta que entrase agua en él, hasta hacer que se hundiera por completo. Y espejos cóncavos (tal vez escudos metálicos convexos, pulimentados y enfocados por su interior) que concentraban la luz del sol sobre las velas de los barcos, hasta incendiarlas. Aunque los relatos de ello son muy tardíos se ha demostrado que es posible utilizando el interior convexo de 70 escudos, si bien se podría conseguir el mismo efecto con catapultas o flechas incendiarias. Quizás aprendiendo de dicha experiencia, y de que el viento podía ser un inconveniente para las evoluciones en combate, los romanos diseñaron un tipo de nave de guerra sin velas, sólo propulsada por tres hileras de remeros en cada borda. Sin embargo los atacantes tomaron la ciudad, mediante un desembarco y posterior asalto por sorpresa desde tierra, nocturnos. Se cree que un soldado romano lo asesinó, al encontrarle con espejos de metal bruñido, lo que le llevó a pensar que serían de oro o de plata, para robárselos.


[1] Del griego archi, que puede significar “viejo o preeminente”, y emadomai, que significa “preocuparse”, por lo que podría traducirse como “el que se preocupa mucho, de antiguo, preeminentemente, o el muy preocupado”.

[2] En realidad lo dijo en griego: eureka

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